Question

4．若实数x满足x²-3x+2＜0，则$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$，（$\frac{lnx}{x}$）²，$\frac{lnx}{x}$三者的大小关系是x∈$（1，\sqrt{e}）$时，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$；
$\sqrt{e}$＜x＜2时，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．．

Answer 1

分析 实数x满足x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2．令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，（1＜x＜4），则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得函数f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）在（e，4）上单调递减．进而得出．

解答 解：实数x满足x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2．
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，（1＜x＜4），
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得函数f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）在（e，4）上单调递减．
∴f（1）＜f（x）＜f（2），即0＜f（x）＜$\frac{ln2}{2}$＜1，∴0＜（$\frac{lnx}{x}$）²＜$\frac{lnx}{x}$．
由1＜x＜x²＜e，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$．
$\sqrt{e}$＜x＜x²＜4时，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．
故答案为：1＜x＜$\sqrt{e}$，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$．$\sqrt{e}$＜x＜2时，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．