Question

8．如图所示，AB，BC是两条傍山公路，∠ABC=120°，现在拟从M，N两处修建一条隧道（单位：千米）．
（1）若BN，BM，MN的长成等差数列，且公差为4，求隧道MN的长；
（2）若MN=12，记∠MNB=θ，试用θ表示△MBN的周长L，并求周长L的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理列方程解出；
（2）根据正弦定理用θ表示出BN，BM，使用和角公式化简L，根据θ的范围和正弦函数的性质得出L的最大值．

解答 解：（1）设BM=x，则BN=x-4，MN=x+4，
在△MBN中，由余弦定理得MN²=BN²+BM²-2BN•BMcosB，
即（x+4）²=（x-4）²+x²+x（x-4），解得x=10．
∴MN=x+4=14（千米）．
（2）∠BMN=60°-θ，
由正弦定理得$\frac{BM}{sinθ}=\frac{BN}{sin（60°-θ）}=\frac{MN}{sin120°}$=8$\sqrt{3}$，
∴BM=8$\sqrt{3}$sinθ，BN=8$\sqrt{3}$sin（60°-θ）
∴L=BM+BN+MN=8$\sqrt{3}$sinθ+8$\sqrt{3}$sin（60°-θ）+12=12cosθ+4$\sqrt{3}$sinθ+12=8$\sqrt{3}$sin（θ+60°）+12．
∵0＜θ＜60°，∴60°＜θ+60°＜120°．
∴当θ+60°=90°时，L取得最大值8$\sqrt{3}+12$千米．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．