Question

18．若过点（2，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+7x-4都相切，则a=2或$-\frac{49}{16}$．

Answer 1

分析 设过曲线y=x³上的点P（t，t³）的切线过点（2，0），对函数y=x³求导，求得切线的斜率和切线的方程，将（2，0）代入方程，解得t=0和3，分别讨论t，求出y=ax²+7x-4的导数，可得切线的斜率，求得切点的坐标，代入切线的方程，可得a的值．

解答 解：设过曲线y=x³上的点P（t，t³）的切线过点（2，0），
对函数y=x³求导得y'=3x²，
故曲线y=x³上的点P（t，t³）的切线方程为y-t³=3t²（x-t），即y=3t²x-2t³，
将点（2，0）的坐标代入此切线方程得0=3t²×2-2t³，即2t²（3-t）=0，
解得t=0或t=3，
（1）当t=0时，则切线方程为y=0，即切线为x轴，此时曲线y=ax²+7x-4与x轴相切，
则$△={7^2}-4×a×（{-4}）=49+16a=0⇒a=-\frac{49}{16}$；
（2）当t=3时，切线的方程为y=27x-54，
对函数y=ax²+7x-4求导得y'=2ax+7，
令y'=27，则有2ax+7=27，解得$x=\frac{10}{a}$，
将$x=\frac{10}{a}$代入y=ax²+7x-4得$y=a•{（{\frac{10}{a}}）^2}+7×\frac{10}{a}-4=\frac{170}{a}-4$，
即切点坐标为$（{\frac{10}{a}，\frac{170}{a}-4}）$代入切线方程得$\frac{170}{a}-4=27×\frac{10}{a}-54$，
化简得$\frac{100}{a}=50$，解得a=2，
综上所述a=2或$a=-\frac{49}{16}$．
故答案为：a=2或$a=-\frac{49}{16}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的方程，考查直线方程的运用，属于中档题．