Question

8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）若∠ACD=$\frac{π}{4}$，求AC的长；
（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知和同角三角函数基本关系可得sin∠ABC，sin∠CAB，由正弦定理可得AC=$\frac{BCsin∠ABC}{sin∠CAB}$，代值计算可得；
（Ⅱ）由题意可得sin∠BCD和cos∠BCD，由正弦定理可得sin∠BDC，进而可得cos∠BDC，由和差角的三角函数公式可得sin∠CBD=sin（∠BCD+∠BDC）=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC，代入计算可得其值，代入S=$\frac{1}{2}$BC•BD•sin∠CBD，计算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$，
∴由同角三角函数基本关系可得sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又∵∠ACD=$\frac{π}{4}$，∴由内错角相等可得∠CAB=∠ACD=$\frac{π}{4}$，
在△ABC中由正弦定理可得AC=$\frac{BCsin∠ABC}{sin∠CAB}$=$\frac{6×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin∠BCD=sin（π-∠ABC）=sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠BCD=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BCD}$=$\frac{1}{3}$，
∴在△BCD中由正弦定理可得：
sin∠BDC=$\frac{BC•sin∠BCD}{BD}$=$\frac{6×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{9}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos∠BDC=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BDC}$=$\frac{7}{9}$，
∴sin∠CBD=sin（∠BCD+∠BDC）
=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{7}{9}$+$\frac{1}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴△BCD的面积S=$\frac{1}{2}$BC•BD•sin∠CBD=$\frac{1}{2}×6×9×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函数公式，数形结合是解决问题的关键，属中档题．