Question

16．某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务，教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，即X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数，试求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为60人，参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20人，由此能求出从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率．
（Ⅱ）由已知得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为：
200×0.06×5=60（人），
参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为200×0.02×5=20（人），
∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人，
∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率p=$\frac{80}{200}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为$\frac{2}{5}$，
由已知得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），∴E（X）=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．