Question

5．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．
（1）若?x∈R，使f（x+a）-f（x）=2A成立，则实数a的最小值是$\frac{π}{2}$；
（2）若A=1，则f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x）的最大值为1．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x）=-A，故a的最小值为f（x）的半周期．
（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值．

解答 解：（1）∵f（x）的最大值为A，最小值为-A，f（x+a）-f（x）=2A，
∴f（x+a）=A，f（x）=-A，∴a的最小值为f（x）的半周期．
∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值为$\frac{π}{2}$．
（2）f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），f（x）=sin（2x+φ）．
∴f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）-sin（2x+φ）=$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+φ）-sin（2x+φ）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+φ）-$\frac{1}{2}$sin（2x+φ）
=cos（2x+$\frac{π}{6}$+φ）．
∴f（x+$\frac{π}{6}$）-f（x）的最大值为1．
故答案为$\frac{π}{2}$，1．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．