Question

3．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在[0，π]上的单调递增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）展开两角和的正弦，再用降幂公式及辅助角公式化简，周期可求，再由复合函数的单调性求得函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）直接由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1=2cosx（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+co{s}^{2}x+1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$．
∴T=π，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∴当k=0和k=1时，得到函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为$[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}]$；
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，得$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴函数的值域为$[{1，\frac{5}{2}}]$．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，考查了三角恒等变换及其应用，考查了三角函数的化简求值，是中档题．