Question

12．已知l是圆O：x²+y²=2的切线，1与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分类讨论直线的斜率存在和不存在，设出直线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，以及直线和椭圆相交的弦长公式，化简整理，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面积的最大值．

解答 解：若直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b是圆的一条切线，
则$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，可得b²=2（1+k²），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l方程代入椭圆方程，整理可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-6=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{b}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8{b}^{2}-24}{1+2{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
由$\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4+4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≤$\frac{1}{4+4}$=$\frac{1}{8}$，当且仅当k²=$\frac{1}{2}$时，取得最大值．
即有|AB|≤2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+\frac{1}{8}}$=3；
当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为x=$\sqrt{2}$，
代入椭圆方程，可得y=±$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{2}$．
∴|AB|_max=3，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|AB|•$\sqrt{2}$，
∴△AOB面积的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆相切的条件，以及直线与椭圆相交的弦长公式，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．