Question

14．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为60°，且$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知条件结合基本不等式的性质及平面向量的数量积运算得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≤1$，当且仅当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1时取等号．进一步由|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$再展开数量积公式求得答案．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为60°，且$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，即${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°=1$，
则${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+1≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≤1$，当且仅当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1时取等号．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°}$
=$\sqrt{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+1}$，
∴1＜2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|+1≤3，
∴1＜|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{3}$．
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．