Question

9．若数列{a_n}满足a_n-（-1）ⁿa_n-1=n（n≥2，n∈N^*），S_n是{a_n}的前n项和，则S₄₀=440．

Answer 1

分析 由${a_n}-（-1{）^n}{a_{n-1}}=n$（n≥2），对n分类讨论，可得：a_2k+a_2k-2=4k-1，a_2k+1+a_2k-1=1，分组求和即可得出．

解答 解：∵${a_n}-（-1{）^n}{a_{n-1}}=n$（n≥2），
∴当n=2k时，即a_2k-a_2k-1=2k，①
当n=2k-1时，即a_2k-1+a_2k-2=2k-1，②
当n=2k+1时，即a_2k+1+a_2k=2k+1，③
①+②a_2k+a_2k-2=4k-1，
③-①a_2k+1+a_2k-1=1，
S₄₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₃₉）+（a₂+a₄+a₆+a₈+…+a₄₀）=$1×10+（{7+15+23+…}）=10+7×10+\frac{{10（{10-1}）}}{2}×8=440$．

点评 本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．