Question

20．对于数列{a_n}，若?m，n∈N^*（m≠n），都有$\frac{{{a_n}-{a_m}}}{n-m}≥t（{t为常数}）$成立，则称数列{a_n}具有性质P（t）．若数列{a_n}的通项公式为${a_n}={n^2}-\frac{a}{n}$，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．

Answer 1

分析 由题意知$\frac{{{a_n}-{a_m}}}{n-m}=\frac{{（{{n^2}-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-\frac{a}{m}}）}}{n-m}≥10$恒成立，从而可得数列$\left\{{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}\right\}$为单调递增数列，从而可得${（{n+1}）^2}-（{n+1}）-\frac{a}{n+1}-（{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}）≥0$恒成立，即a≥-n（n+1）（2n-9），从而解得．

解答 解：∵数列通项公式${a_n}={n^2}-\frac{a}{n}$且数列具有性质P（10），
∴$\frac{{{a_n}-{a_m}}}{n-m}=\frac{{（{{n^2}-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-\frac{a}{m}}）}}{n-m}≥10$，
∴$\frac{{（{{n^2}-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-\frac{a}{m}}）}}{n-m}-10=\frac{{（{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}）-（{{m^2}-10m-\frac{a}{m}}）}}{n-m}≥0$恒成立，
∴数列$\left\{{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}\right\}$为单调递增数列，
∴${（{n+1}）^2}-（{n+1}）-\frac{a}{n+1}-（{{n^2}-10n-\frac{a}{n}}）≥0$恒成立，
即a≥-n（n+1）（2n-9），
由数轴标根法作图如下，

故最大值在n=1，2，3或4上取得，
当n=1时，-n（n+1）（2n-9）=14，
当n=2时，-n（n+1）（2n-9）=30，
当n=3时，-n（n+1）（2n-9）=36，
当n=4时，-n（n+1）（2n-9）=20，
故a≥36．
故答案为：[36，+∞）．

点评 本题考查了恒成立问题，恒成立问题一般转化为求最值，构造新的数列形式后要利用递推关系建立不等式．