Question

5．如图，AE⊥正方形BCDE所在的平面，点F，G分别是AB和AC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面ADE；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （I）由中位线定理和平行公理可知FG∥DE，故FG∥平面ADE；
（II）由AE⊥平面BCDE可知AE⊥BD，由正方形性质得EC⊥BD，故而BD⊥平面ACE，从而平面ABD⊥平面ACE．

解答 证明：（I）∵点F，G分别是AB和AC的中点，
∴FG∥BC，又BC∥DE，
∴FG∥DE，∵FG?平面ADE，DE?平面ADE，
∴FG∥平面ADE．
（II）∵AE⊥平面BCDE，BD?平面BCDE，
∴AE⊥BD，
∵四边形BCDE是正方形，
∴EC⊥BD，又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=C，
∴BD⊥平面ACE，∵BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACE．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．