Question

13．已知对称中心为原点O的椭圆C的上顶点为A，右焦点为F，B（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$）是C上的一点，且椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P、Q是椭圆C上异于顶点的两动点，且∠POQ=90°，求证：直线PQ与一定圆相切．

Answer 1

分析 （1）由题设可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，又点B在椭圆C上，可得$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1⇒a²=2②，又b²+c²=a²=2③，①③联立解得c，b²，即可得椭圆方程；
（2）以O为极点，z轴为极轴，可得椭圆的极坐标方程为ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，设P（ρ，θ），Q（ρ，$\frac{π}{2}$+θ），求得OP，OQ，结合勾股定理和三角形的面积公式，求得O到PQ的距离，结合直线和圆相切的条件，即可得证．

解答 解：（1）F（c，0），A（0，b），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{b}{3}$），
由题设可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，
又点B在椭圆C上，
可得$\frac{16}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，可得a²=2②，
b²+c²=a²=2③，
①③联立解得，c=1，b²=1，
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）证明：以O为极点，z轴为极轴，可得椭圆的极坐标方程为
ρ²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，
设P（ρ，θ），Q（ρ，$\frac{π}{2}$+θ），
即有ρ₁²=$\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，ρ₂²=$\frac{2}{co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）+2si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{2}{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}$，
即有$\frac{1}{O{P}^{2}}$+$\frac{1}{O{Q}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}{2}$+$\frac{si{n}^{2}θ+2co{s}^{2}θ}{2}$=$\frac{3}{2}$，
设O到直线PQ的距离为h，即有h•PQ=OP•OQ，
即h²=$\frac{O{P}^{2}•O{Q}^{2}}{P{Q}^{2}}$=$\frac{O{P}^{2}•O{Q}^{2}}{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{O{P}^{2}}+\frac{1}{O{Q}^{2}}}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
可得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则O到直线PQ的距离为定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则直线PQ与圆心为原点，半径为$\frac{\sqrt{6}}{3}$的圆相切．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，点满足椭圆方程，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．