Question

18．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量，求证：||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，并说明取等号的条件．

Answer 1

分析 分向量共线与不共线的情况，利用向量加法、减法的三角形法则做出图形，结合三角形的边的关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行证明．

解答 证明：分三种情况考虑．
（1）当a、b共线且方向相同时，|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|．
（2）当a、b共线且方向相反时，
∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b），
利用（1）的结论有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|．
（3）当a，b不共线时，设$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OB}$=b，作$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=a+b，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=a-b，
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|．
综上得证．

点评 本题主要考查了平面向量的共线与不共线时两向量和（或差）的模与向量模的和（或差）的大小关系，解决问题的关键是要熟练运用向量的加法及减法的三角形法则（平行四边形法则）．分类讨论的数学思想要注意掌握．