Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x-y+3$\sqrt{2}$=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为$\sqrt{10}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值．设过Q的直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在Q．

解答 解：（1）右焦点F（c，0）到直线x-y+3$\sqrt{2}$=0的距离为5，
可得$\frac{|c-0+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5，解得c=2$\sqrt{2}$，
由题意可得a²+b²=10，又a²-b²=8，
解得a=3，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，
且满足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值．
设过Q的直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆方程x²+9y²=9，可得t²（cos²α+9sin²α）+2mcosα•t+m²-9=0，
可得△=（2mcosα）²-4（cos²α+9sin²α）（m²-9）＞0，
t₁t₂=$\frac{{m}^{2}-9}{co{s}^{2}α+9si{n}^{2}α}$，t₁+t₂=-$\frac{2mcosα}{co{s}^{2}α+9si{n}^{2}α}$，
则$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$=$\frac{4{m}^{2}co{s}^{2}α-2（{m}^{2}-9）（co{s}^{2}α+9si{n}^{2}α）}{（{m}^{2}-9）^{2}}$，
=$\frac{2（{m}^{2}+9）co{s}^{2}α+18（9-{m}^{2}）si{n}^{2}α}{（{m}^{2}-9）^{2}}$为定值，
即有2（m²+9）=18（9-m²），解得m=±$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
代入判别式显然成立．
故在x轴上存在点Q（±$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，
且满足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值10．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线参数方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和参数的几何意义，考查恒成立思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．