Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，A为椭圆的右顶点，B为椭圆的上顶点．若在线段AB（不含端点）上存在不同的两个点A₁，A₂，使得△F₁A₁F₂和△F₁A₂F₂均为以F₁F₂为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 由题意作图辅助，从而可转化为以F₁F₂为直径的圆与线段AB有两个交点（不含端点），从而化为c＜b且圆心到直线bx+ay-ab=0的距离d＜c，从而解得．

解答 解：由题意作图如右，
若△F₁A₁F₂和△F₁A₂F₂均为以F₁F₂为斜边的直角三角形，
则以F₁F₂为直径的圆与线段AB有两个交点（不含端点），
故c＜b，故e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵直线AB的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+ay-ab=0，
∴圆心到直线bx+ay-ab=0的距离d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜c，
即ab＜c$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即a⁴-3a²c²+c⁴＜0，
即1-3e²+e⁴＜0，
故$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜e²＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；
故$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$＜e²＜$（\frac{\sqrt{5}+1}{2}）^{2}$；
故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故e∈（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系的应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用．