Question

20．已知M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$-$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2013}^{2}}{3}$-$\frac{{C}_{2015}^{3}}{4}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$-$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$，则M的值为$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 展开二项式（1-x）²⁰¹⁵，然后两边取0到1上的积分得答案．

解答 解：∵$（1-x）^{2015}={C}_{2015}^{0}-{C}_{2015}^{1}x+{C}_{2015}^{2}{x}^{2}$$-{C}_{2015}^{3}{x}^{3}+…+$${C}_{2015}^{2014}{x}^{2014}-{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}$，
两边取积分得：
${∫}_{0}^{1}（1-x）^{2015}dx$=${∫}_{0}^{1}（{C}_{2015}^{0}-{C}_{2015}^{1}x+{C}_{2015}^{2}{x}^{2}-{C}_{2015}^{3}{x}^{3}+…+{C}_{2015}^{2014}{x}^{2014}-{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}）dx$，
即$（\frac{{C}_{2015}^{0}x}{1}-\frac{{C}_{2015}^{1}{x}^{2}}{2}+…+\frac{{C}_{2015}^{2014}{x}^{2015}}{2015}-\frac{{C}_{2015}^{2015}{x}^{2016}}{2016}）{|}_{0}^{1}$=$-\frac{1}{2016}（1-x）^{2016}{|}_{0}^{1}$，
∴M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$-$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$-$\frac{{C}_{2015}^{3}}{4}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$-$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$=$\frac{1}{2016}$，
故答案为：$\frac{1}{2016}$．

点评 本题考查组合及组合数公式，考查了利用定积分求组合数的值，是中档题．