Question

8．锐角△ABC中，已知a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，则bc的取值范围（2，3]．

Answer 1

分析 由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，结合已知可先表示b，c，然后由△ABC为锐角三角形及B+C=120°可求B的范围，再把所求的bc用sinB，cosB表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵△ABC为锐角三角形，
∴0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
∴30°＜B＜90°
∵bc=4sinBsin（120°-B）
=4sinB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=2$\sqrt{3}$sinBcosB+2sin²B
=$\sqrt{3}$sin2B+（1-cos2B）
=2sin（2B-30°）+1，
∵30°＜B＜90°，
∴30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
∴2＜2sin（2B-30°）+1≤4，
即2＜bc≤3，
故答案为：（2，3]．

点评 本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题．