Question

18．定义max{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}{m，m≥n}\\{n，n＞m}\end{array}\right.$，则max{$\frac{{b}^{2}+1}{a}$，$\frac{{a}^{2}+1}{b}$}（a＞0，b＞0）的最小值为2．

Answer 1

分析 设t=max{$\frac{{b}^{2}+1}{a}$，$\frac{{a}^{2}+1}{b}$}（a＞0，b＞0），即为t≥$\frac{{b}^{2}+1}{a}$，t≥$\frac{{a}^{2}+1}{b}$，相加，再由基本不等式即可得到所求最值．

解答 解：设t=max{$\frac{{b}^{2}+1}{a}$，$\frac{{a}^{2}+1}{b}$}（a＞0，b＞0），
即为t≥$\frac{{b}^{2}+1}{a}$，t≥$\frac{{a}^{2}+1}{b}$，
可得2t≥$\frac{{b}^{2}+1}{a}$+$\frac{{a}^{2}+1}{b}$=（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$）+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），
由a+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{{b}^{2}}{a}}$=2b，
b+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥2a，
相加可得$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥a+b，
即有2t≥a+b+（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}{b}$）≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$+2$\sqrt{b•\frac{1}{b}}$=4，
即有t≥2．当且仅当a=b=1取得最小值2．
故答案为：2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．