Question

7．若实数x，y满足$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10，则t=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{5}$的最小值为-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得点P（x，y）与两定点A（0，-3），B（0，3）的距离之和为10．由椭圆的定义可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，即a=5，c=3，b=4，求得椭圆的方程，再由参数方程代入t的表达式，运用辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到最小值．

解答 解：实数x，y满足$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10，
表示点P（x，y）与两定点A（0，-3），B（0，3）的距离之和为10．
由椭圆的定义可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且2a=10，2c=6，
即a=5，c=3，b=4，
可得方程即为$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
可设x=4cosα，y=5sinα（0≤α＜2π），
则t=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{5}$=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，即α=$\frac{5π}{4}$时，t取得最小值，且为-$\sqrt{2}$．
故答案为：-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程及运用，注意运用椭圆的参数方程，考查辅助角公式的运用，以及正弦函数的值域，属于中档题．