Question

8．若（a+x）（1+x）⁴的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x³的系数为18．

Answer 1

分析 设f（x）=（a+x）（1+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，分别令x=1、x=-1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x³的系数．

解答 解：设f（x）=（a+x）（1+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
令x=1，则a₀+a₁+a₂+…+a₅=f（1）=16（a+1）…①，
令x=-1，则a₀-a₁+a₂-…-a₅=f（-1）=0…②，
①-②得，2（a₁+a₃+a₅）=16（a+1），
所以2×32=16（a+1），所以a=3．
当（3+x）中取3，则 （1+x）⁴取x，x，x，1，即可得x³的系数为$3C_4^3=12$，
当（3+x）中取x，则 （1+x）⁴取x，x，1，1，即x³的系数为$C_4^2=6$，
∴展开式中x³的系数为18．
故答案为：18．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．