Question

3．已知f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可得；
（2）由$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，由三角函数的值域可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin2x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin2x∈[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．