Question

13．若关于x的不等式$\frac{m{e}^{x}}{x}$≥6-4x在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是[$\frac{2}{\sqrt{e}}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得m≥$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$的最大值，设f（x）=$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$，求出导数，求得单调区间，可得最大值，进而得到m的范围．

解答 解：关于x的不等式$\frac{m{e}^{x}}{x}$≥6-4x在（0，+∞）上恒成立，
即有m≥$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$的最大值，
设f（x）=$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}-14x+6}{{e}^{x}}$
=$\frac{2（x-3）（2x-1）}{{e}^{x}}$，
由x＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
$\frac{1}{2}$＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减；
x＞3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
且x＞3时，f（x）＜0，
即有x=$\frac{1}{2}$处，f（x）取得最大值，且为$\frac{2}{\sqrt{e}}$，
可得m≥$\frac{2}{\sqrt{e}}$．
故答案为：[$\frac{2}{\sqrt{e}}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和构造函数，运用导数判断单调性，求得最值，考查运算能力，属于中档题．