Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2ⁿ．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=n•a_n，b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n-1}}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$的前n项和为S_n，求证：$\frac{3}{4}$≤S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1、a_n+1=2ⁿ计算可知$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$、$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=n•2^n-1，进而可知b_n=$\frac{n+2}{n（n+1）}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，通过放缩、利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 证明：（1）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$、公差为0的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）由（1）可知c_n=n•a_n=n•2^n-1，
∴b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n-1}}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{n-1}}{n（n+1）•{2}^{n-1}•{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∵$\frac{n+2}{n（n+1）}$=$\frac{1+\frac{2}{n}}{1+n}$∈（1，$\frac{3}{2}$]，且$\frac{n+2}{n（n+1）}$＜1，
∴S_n＜$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
＜$\frac{1}{4}$+1-$\frac{1}{{2}^{2}}$
=1（n≥2），
又∵$\frac{3}{4}$≤S_n=S₁，
∴$\frac{3}{4}$≤S_n＜1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于中档题．