Question

11．已知曲线y=$\sqrt{x}$，求
（1）与直线y=2x-4平行的曲线的切线方程；
（2）求过点P（0，1）且与曲线相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线与直线y=2x-4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x-4平行的切线的方程．
（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，1）且与曲线相切的直线的方程．

解答 解：（1）若切线与直线y=2x-4平行，
则切线的斜率k=2，
∵y=$\sqrt{x}$得导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$=2，得$\sqrt{x}$=$\frac{1}{4}$，
则x=$\frac{1}{16}$，即切点坐标为（$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$），
则曲线的切线方程为y-$\frac{1}{4}$=2（x-$\frac{1}{16}$），
即y=2x+$\frac{1}{8}$；
（2）设切点（a，$\sqrt{a}$），则f′（a）=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
∴切线方程为：y-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
将点P（0，1）代入可得1-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（0-a）=-$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{a}}{2}$=1，
∴a=4，
当直线为x=0时，直线x=0也与y=$\sqrt{x}$相切，
∴直线方程为：x-4y+4=0或x=0

点评 本题考查导数的几何意义，求函数的导数，求出切线的斜率和方程是解决本题的关键．