Question

10．已知数列{a_n}满足$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²+n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{（\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}-1}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²+n与$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=n²-n（n≥2）作差可知a_n=$\frac{1}{2n}$（n≥2），进而检验当n=1时也满足即可；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²+n，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+（n-1）=n²-n（n≥2），
两式相减得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=（n²+n）-（n²-n）=2n，即a_n=$\frac{1}{2n}$（n≥2），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1+1=2，即a₁=$\frac{1}{2}$满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2n}$；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{（\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．