Question

10．在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₂、a₄、a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，从而可得（1+3d）²=（1+d）（1+7d），从而解得；
（Ⅱ）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，为等比数列，从而求其和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则a₂=1+d，a₄=1+3d，a₈=1+7d，
∵a₂、a₄、a₈成等比数列，
∴（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
解得，d=0（舍去）或d=1，
故a_n=1+n-1=n；
（Ⅱ）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的判断与应用，同时考查了方程的思想应用．