Question

2．下列函数中，既是奇函数又在区间（-1，1）上单调递减的函数是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=2cosx+1
• C． f（x）=2^x-1
• D． $f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}$

Answer 1

分析 根据奇函数、偶函数的定义，正弦函数的单调性，指数函数的图象，奇函数图象的对称性，以及复合函数、对数函数和反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．f（x）=sinx在（-1，1）上单调递增，∴该选项错误；
B．f（x）=2cosx+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；
C．f（x）=2^x-1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
D．解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1，且$f（-x）=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
$y=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上单调递减，y=lnx单调递增；
∴f（x）在（-1，1）上单调递减，∴该选项正确．
故选：D．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数的图象，以及对数函数、反比例函数及复合函数的单调性．