Question

14．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-x}≤1}\\{-1-{x}^{2}≤y≤2+\sqrt{x}}\end{array}\right.$所表示的平面区域是Ω，则平面区域Ω的面积等于4．

Answer 1

分析 先求出第一个不等式得到x的取值范围，利用积分的几何意义进行求解即可．

解答 解：由$\sqrt{1-x}$≤1得0≤1-x≤1，即0≤x≤1，
则由积分的性质可知平面区域Ω的面积S=∫${\;}_{0}^{1}$[2+$\sqrt{x}$-（-1-x²）dx═∫${\;}_{0}^{1}$（3+$\sqrt{x}$+x²）dx=（$\frac{1}{3}$x³+3x+$\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$+3+$\frac{2}{3}$=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查区域的面积的计算，利用积分的几何意义是解决本题的关键．