Question

5．已知函数$f（x）=cosωx（\sqrt{3}sinωx-cosωx）$（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；
（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由函数图象和周期公式可得ω=1，易得最大值；
（Ⅱ）可得$\frac{π}{2}$＜A＜π，由三角函数最终可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$的最小值，由恒成立可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵函数f（x）图象两条对称轴之间的最小距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T=$\frac{2π}{2ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值为1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵△ABC中，cosA＜0，∴$\frac{π}{2}$＜A＜π，
∴$\frac{5π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴-1≤sin（2A-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$≤sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$＜0，
要使f（A）≥m恒成立，则m≤f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$的最小值，
故实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数图象的对称性和周期性以及最值，属中档题．