Question

10．锐角△ABC中，a+b=2c（cosA+cosB）且c=$\sqrt{3}$，则ab的取值范围是（0，3$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用三角形中，sinB=sin（A+C）可求得sinB=sinAcosC+cosAsinC，与已知sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB）联立，可求得2sin（B-C）=0，解得b=c，由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简可得ab=6cosC，求得范围$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{2}$，利用余弦函数的图象和性质可求cosC∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），从而可求ab的取值范围．

解答 解：∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵2c（cosA+cosB）=a+b，
∴利用正弦定理可得：sinA+sinB=2sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA+2sinCcosB，
∴sinA=sin（C-B）+2sinCcosB，
在△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sin（C-B）+2sinCcosB，
即sinBcosC+cosBsinC=sin（C-B）+2sinCcosB，
∴sinBcosC=sin（C-B）+sinCcosB，
∴sin（B-C）=sin（C-B）=-sin（B-C），
∴2sin（B-C）=0，
∵B，C为锐角，可解得B=C，b=c，
∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，A=π-2C，c=$\sqrt{3}$，
∴ab=ac=（2R）²sinAsinC=（$\frac{c}{sinC}$）²sin（π-2C）sinC=（$\frac{c}{sinC}$）²sin2CsinC=2c²cosC=6cosC，
又∵锐角△ABC中，A=π-2C，可得：$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{2}$，cosC∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴ab=6cosC∈（0，3$\sqrt{2}$）．
故答案为：（0，3$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想以及数形结合思想的应用，求得2sin（B-C）=0是转化的关键，属于中档题．