Question

9．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=$\sqrt{7}$，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，∠ACD=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求sin∠BAC；
（Ⅱ）求DC的长．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中使用正弦定理得出sin∠ACB，使用两角和的正弦函数公式求出；
（II）求出sin∠CAD，sinD，在△ACD中使用正弦定理解出CD．

解答 解：（I）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sinB}$，即$\frac{1}{sin∠ACB}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sin∠ACB=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．∴cos∠ACB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴sin∠BAC=sin（$\frac{π}{3}-∠ACB$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos∠ACB-$\frac{1}{2}$sin∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{14}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（II）∵∠BAC+∠CAD=$\frac{π}{2}$，
∴sin∠CAD=cos∠BAC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，cos∠CAD=sin∠BAC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴sinD=sin（$\frac{2π}{3}-∠CAD$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos∠CAD+$\frac{1}{2}$sin∠CAD=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}+\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinD}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，即$\frac{\sqrt{7}}{\frac{5\sqrt{7}}{14}}=\frac{CD}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}$，
解得CD=$\frac{4\sqrt{7}}{5}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，选择恰当的三角形的元素是解题的关键．