Question

12．在数列{a_n}中，S_n=2ⁿ+1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 通过S_n=2ⁿ+1可知a₁=3，a_n=2^n-1（n≥2），进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：∵S_n=2ⁿ+1，
∴a₁=S₁=2+1=3，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ+1）-（2^n-1+1）=2^n-1（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．