Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂＜0，且1，a₂，81成等比数列，a₃+a₇=-6．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和T_n取得最小值时n的值．

Answer 1

分析 （I）由a₃+a₇=-6=2a₅，解得a₅．由1，a₂，81成等比数列，${a}_{2}^{2}$=1×81，a₂＜0，解得a₂．可得等差数列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$．可得a_n．
（II）S_n=n²-12n.$\frac{{S}_{n}}{n}$=n-12．由n-12≤0，解得n即可得出．

解答 解：（I）∵a₃+a₇=-6=2a₅，解得a₅=-3．
∵1，a₂，81成等比数列，${a}_{2}^{2}$=1×81，a₂＜0，∴a₂=-9．
∴等差数列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=$\frac{-3-（-9）}{5-2}$=2．
∴a_n=a₂+（n-2）×2=2n-13．
（II）S_n=$\frac{n（-11+2n-13）}{2}$=n²-12n．
$\frac{{S}_{n}}{n}$=n-12．
由n-12≤0，解得n≤12，
∴当n=11，12时，{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和T_n取得最小值．

点评 本题考查了不等式的性质、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．