Question

17．对于数列{a_n}与{b_n}，若对数列{c_n}的每一项c_n，均有c_k=a_k或c_k=b_k，则称数列{c_n}是{a_n}与{b_n}的一个“并数列”．
（1）设数列{a_n}与{b_n}的前三项分别为a₁=1，a₂=3，a₃=5，b₁=1，b₂=2，b₃=3，若{c_n}是{a_n}与{b_n}一个“并数列”求所有可能的有序数组（c₁，c₂，c₃）；
（2）已知数列{a_n}，{c_n}均为等差数列，{a_n}的公差为1，首项为正整数t；{c_n}的前10项和为-30，前20项的和为-260，若存在唯一的数列{b_n}，使得{c_n}是{a_n}与{b_n}的一个“并数列”，求t的值所构成的集合．

Answer 1

分析 （1）利用“并数列”的定义即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，公差d，c_n，通过分类讨论即可得出．

解答 解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；
（2）a_n=t+n-1，
设{c_n}的前10项和为T_n，T₁₀=-30，T₂₀=-260，得d=-2，c₁=6，所以c_n=8-2n；c_k=a_k或c_k=b_k．$当{c_k}={a_k}时，8-2k=t+k-1，t=9-3k∈{N^*}，k∈{N^*}$，
∴k=1，t=6；或k=2，t=3，
所以k≥3．k∈N^*时，c_k=b_k，
∵数列{b_n}唯一，所以只要b₁，b₂唯一确定即可．
显然，t=6，或t=3时，b₁，b₂不唯一，
$\begin{array}{l}t∈{N^*}且t≠3，t≠6，\\ 即\left\{t\right.\left|{t∈{N^*}}\right.且t≠3，\left.{t≠6}\right\}\end{array}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．