Question

6．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有二解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的图象和性质即可得到结论．
（2）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x
=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，…（4分）
∴由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得f（x）的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，1），k∈Z…（6分）
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，所以2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（x）的值域为[2，3]，…（8分）
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]．（12分）

点评 本题主要考查三角函数中恒等变换应用以及整体代入思想的应用，在求三角函数的单调性时，一般都用整体代入思想，比如本题中令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，还考查了三角函数的对称中心的求解，要求熟练掌握正弦函数的图象和性质，属于中档题．