Question

8．设函数f（x）=|x-3|-|x+a|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，解出各个阶段上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题等价于|a+3|≤2a，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）＜1就是|x-3|-|x+2|＜1．
当x＜-2时，3-x+x+2＜1，得5＜1，不成立；
当-2≤x＜3时，3-x-x-2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；
当x≥3时，x-3-x-2＜1，即-5＜1，恒成立，所以x≥3．
综上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…（5分）
（Ⅱ） 因为f（x）=|x-3|-|x+a|≤|（x-3）-（x+a）|=|a+3|，
所以f（x）的最大值为|a+3|．
对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立等价于|a+3|≤2a．
当a≥-3时，a+3≤2a，得a≥3；
当a＜-3时，-a-3≤2a，a≥-1，不成立．
综上，所求a的取值范围是[3，+∞）…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．