Question

15．等比数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=256，S₃=448，T_n为数列{a_n}的前n项乘积，则T₁₇=1．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q＞0，a_n＞0，a₁=256，S₃=448，可得256（1+q+q²）=448，解得q．T_n为数列{a_n}的前n项乘积，则T₁₇=${a}_{1}^{17}$q^0+1+2+…+16=$（{a}_{1}{q}^{8}）^{17}$．即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，a_n＞0，a₁=256，S₃=448，
∴256（1+q+q²）=448，
解得q=$\frac{1}{2}$．
T_n为数列{a_n}的前n项乘积，则T₁₇=${a}_{1}^{17}$q^0+1+2+…+16=$25{6}^{17}×{q}^{\frac{16（1+16）}{2}}$=$（{a}_{1}{q}^{8}）^{17}$=$（256×\frac{1}{{2}^{8}}）^{17}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和的性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．