Question

2．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-2≥0\\ x-y+1≥0\\ 2x+y-4≤0\end{array}\right.$，z=x-2y，则z的取值范围是[-3，2]．

Answer 1

分析 先作出不等式组表示的平面区域，由z=x-2y可得，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，则-$\frac{1}{2}$z表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围

解答 解：作出不等式组表示的平面区域：
由z=x-2y可得，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$z，则-$\frac{1}{2}$z表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小
结合函数的图形可知，当直线x-2y-z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x-2y-z=0平移到A时，截距最小，z最大
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$可得B（1，2），由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，
可得A（2，0）
∴Z_max=2，Z_min=-3
则z=x-2y∈[-3，2]
故答案为：[-3，2]．

点评 平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．