Question

18．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+be^-x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x-y=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与2x-y=0垂直，可得a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（2）由题意可得$\frac{x}{1+{e}^{x}}$+e^-x＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，即有（1-k）e^-x＞$\frac{2x}{{e}^{2x}-1}$，即1-k＞$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，可令g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+be^-x的导数为
f′（x）=$\frac{a（{e}^{x}+1）-ax{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
由切线与直线2x-y=0垂直，可得
f（0）=1，f′（0）=-$\frac{1}{2}$，
即有b=1，$\frac{1}{2}$a-b=-$\frac{1}{2}$，
解得a=b=1；
（2）当x≠0时，都有f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，
即为$\frac{x}{1+{e}^{x}}$+e^-x＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，
即有（1-k）e^-x＞$\frac{2x}{{e}^{2x}-1}$，即1-k＞$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
可令g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，g（-x）=$\frac{-2x}{{e}^{-x}-{e}^{x}}$=g（x），
即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．
由g（x）-1=$\frac{2x-{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
x＞0时，e^x＞e^-x，
由h（x）=2x-e^x+e^-x，h′（x）=2-（e^x+e^-x）≤2-2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=0，
则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，
即有g（x）＜1．
故1-k≥1，解得k≤0．
则k的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，求出导数，判断单调性，求出最值，考查运算能力，属于中档题．