Question

9．数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意n∈N^*，都有${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，则数列{a_2n-1}的前n项和为$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$-3+2n．

Answer 1

分析 ${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，由a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$+1-3，解得a₁=$\frac{3}{4}$．当n=2k-1≥3，k∈N^*时，a_2k-1=S_2k-1-S_2k-3，变形为${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2=$\frac{1}{2}（{a}_{2k-3}-\frac{3}{{4}^{k-1}}-2）$，利用等比数列的通项公式可得a_2k-1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，
∴a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$+1-3，解得a₁=$\frac{3}{4}$．
当n=2k-1≥3，k∈N^*时，a_2k-1=S_2k-1-S_2k-3=-a_2k-1+$\frac{1}{{2}^{2k-1}}$+（2k-1）-3-$[-{a}_{2k-3}+\frac{1}{{2}^{2k-3}}+（2k-3）-3]$
化为：2a_2k-1=a_2k-3-$\frac{3}{{2}^{2k-1}}$+2．
变形为${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2=$\frac{1}{2}（{a}_{2k-3}-\frac{3}{{4}^{k-1}}-2）$，
∴数列{${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2}是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为-2．
∴${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2=$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_2k-1=$\frac{3}{{4}^{k}}$-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+2．
∴数列{a_2n-1}的前n项和=$\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+2n
=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$-3+2n．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$-3+2n．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．