Question

1．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，求函数f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由周期公式可得周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调增区间；
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）化简可得$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$
∴函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]k∈Z；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴函数f（x）的最小值和最大值分别为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1和0．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．