Question

18．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，M为BC的中点，sin∠BAM=$\frac{1}{3}$，则AC的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=$\frac{c}{3}$，进而可得cosβ=sin∠AMB，在RT△ACM中，还可得cosβ=$\frac{b}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$，再由勾股定理可得c=$\sqrt{4+{b}^{2}}$，继而解得b的值

解答 解：如图
设AC=b，AB=c，CM=MB=$\frac{a}{2}$=1，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得$\frac{BM}{sin∠BAM}$=$\frac{c}{sin∠AMB}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3
解得sin∠AMB=$\frac{c}{3}$，
故cosβ=cos（$\frac{π}{2}$-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB=$\frac{c}{3}$，
而在RT△ACM中，cosβ=$\frac{AC}{AM}$=$\frac{b}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$，
故可得$\frac{b}{\sqrt{1+{b}^{2}}}$=$\frac{c}{3}$，
再由勾股定理可得a²+b²=c²，即c=$\sqrt{4+{b}^{2}}$，
故9b²=（1+b²）（4+b²），
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题．