Question

8．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，M为C上位于第一象限的点，|MF₁|=2，且MF₁⊥y轴，MF₂与椭圆C交于另一点N，若$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，则直线MN的斜率为（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由椭圆性质得b²=2a，M（2，c），N（-1，-2c），由此能求出c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，从而能求出直线MN的斜率．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，
M为C上位于第一象限的点，|MF₁|=2，且MF₁⊥y轴，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}=2$，即b²=2a，①，且M（2，c），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}$=1，②
∵MF₂与椭圆C交于另一点N，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}N}$，∴N（-1，-2c），
∴$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，③
联立①②③，得c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴直线MN的斜率为k_MN=$\frac{c-（-2c）}{2-（-1）}$=c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．