Question

13．使f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数的θ的一个值是（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． -$\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$），再根据它是奇函数，可得θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z．再根据它在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数，分类讨论求得θ的值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$）为奇函数，
∴θ-$\frac{π}{3}$=kπ，∴θ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
当k为奇数时，令k=2n-1，θ=2nπ-$\frac{2π}{3}$，n∈z，此时f（x）=-2sin2x，满足在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数，
当k为偶数时，令k=2n，θ=2nπ+$\frac{π}{3}$，n∈z，此时f（x）=2sin2x，不满足在[0，$\frac{π}{4}$]上是减函数．
故选：B．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的奇偶性和单调性，体现了分类讨论的数学思想，化简函数的解析式是解题的突破口，属于中档题．