Question

16．已知F₁，F₂分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，若存在过F₁的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF₂=∠BF₂F₁，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （1，2+$\sqrt{5}$）
• C． （3，2+$\sqrt{5}$）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 由三角形相似的判断可得△BAF₂∽△BF₂F₁，即有$\frac{B{F}_{2}}{B{F}_{1}}$=$\frac{BA}{B{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{2}A}{{F}_{1}{F}_{2}}$，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：在△BAF₂和△BF₂F₁中，
由∠BAF₂=∠BF₂F₁，∠ABF₂=∠F₂BF₁，
可得△BAF₂∽△BF₂F₁，
即有$\frac{B{F}_{2}}{B{F}_{1}}$=$\frac{BA}{B{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{2}A}{{F}_{1}{F}_{2}}$，
即为$\frac{B{F}_{2}-BA}{B{F}_{1}-B{F}_{2}}$=$\frac{B{F}_{2}-BA}{2a}$=$\frac{{F}_{2}A}{2c}$，
$\frac{A{F}_{2}}{B{F}_{2}-BA}$=$\frac{c}{a}$=e＞1，
可得AF₂=e（BF₂-BA）＞c+a，即有BF₂＞BA，
又BA＞2a，
即BF₂＞2a，
BF₂取最小值c-a时，BF₂也要大于BA，
可得2a＜c-a，即c＞3a，
即有e=$\frac{c}{a}$＞3．
当AF₁与x轴重合，即有$\frac{c+a}{c-3a}$=$\frac{c}{a}$，
e=$\frac{c}{a}$，可得e²-4e-1=0，解得e=2+$\sqrt{5}$，
即有3＜e＜2+$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲C的离心率的范围，注意运用三角形的相似的判断和性质，考查双曲线的定义和离心率公式的运用，以及运算能力，属于中档题．