Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，则满足a₅=0，S₁=2S₂+8，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若2S_n=3a_n-1，证明数列{a_n}是等比数列，并求其前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d；从而可得a₅=a₁+4d=0，a₁=2（2a₁+d）+8，从而解得；
（Ⅱ）分类讨论，从而化简可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，从而证明并求和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d；
则a₅=a₁+4d=0，a₁=2（2a₁+d）+8，
解得，a₁=-$\frac{16}{5}$，d=$\frac{4}{5}$；
故a_n=-$\frac{16}{5}$+（n-1）$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$n-4；
（Ⅱ）证明：∵2S_n=3a_n-1，
①当n=1时，2S₁=3a₁-1，
解得，a₁=1，
②当n≥2时，2S_n=3a_n-1，2S_n-1=3a_n-1-1，
故2a_n=3a_n-3a_n-1，
故$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
故数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
故S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程思想的应用．