Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD⊥DC，DC∥AB，PA=AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AD=DC=1．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）E为PB中点，F为BC中点，求四棱锥D-EFCP的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．
（2）根据条件求出四棱锥的高，利用棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，
∴PA⊥BC，连接AC，
∵AD=CD，AD⊥CD，∴AC=$\sqrt{2}$，
∵BC=$\sqrt{2}$，AB=2，AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∵PC?面PAC，
∴PC⊥BC；
（2）由（1）知BC⊥PC，且PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{6}$，
∵E为PB中点，F为BC中点，
∴S_EFCP=$\frac{3}{4}$S_PBC，
则V_D-EFCP=$\frac{3}{4}$V_D-PBC=$\frac{3}{4}$V_P-DBC=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}•PA•（{S}_{ABCD}-{S}_{ABD}）$=$\frac{1}{4}×2×（\frac{3}{2}-1）=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查空间直线和直线垂直的判定以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及棱锥的体积公式是解决本题的关键．