Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段BC₁上运动时，给出下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②直线AP与平面AC₁所成角的大小不变；
③直线AP与直线A₁D所成角的大小不变；
④二面角P-AD₁-C的大小不变．
其中所有真命题的编号是

①③④

．

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，底不变，所以体积不变．
②在直线BC₁上运动时，直线AB与平面AC₁所成角和直线AC₁与平面AC₁所成角不相等．
③由A₁D⊥平面ABC₁D₁，知直线AP与A₁D所成的角大小不变．
④P在直线BC₁上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一点到平面AD₁C的距离相等，所以体积不变，正确．
②P在直线BC₁上运动时，直线AB与平面AC₁所成角和直线AC₁与平面AC₁所成角不相等，所以不正确．
③∵A₁D⊥平面ABC₁D₁，
∴P在直线BC₁上运动时，直线AP与A₁D所成的角大小不变，所以正确；
④当P在直线BC₁上运动时，AP的轨迹是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响，所以正确．
故答案为①③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了空间直线与平面所成角、平面与平面所成角、体积的计算和距离的计算等知识，属于中档题．