Question

2．函数f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$$+\frac{8}{1+co{s}^{2}x}$的最小值是9．

Answer 1

分析 由三角函数公式变形可得f（x）=1+$\frac{1+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+4+$\frac{4si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$，由基本不等式可得．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$$+\frac{8}{1+co{s}^{2}x}$
=$\frac{1+si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4+4si{n}^{2}x+4co{s}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$
=1+$\frac{1+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+4+$\frac{4si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
当且仅当$\frac{1+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$=$\frac{4si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}$即cosx=$\frac{1}{2}$时取等号，
故答案为：9．

点评 本题考查三角函数的最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．